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Il Mondo dei Frattali

Buongiorno a tutti! Questo articolo vuole essere un omaggio ad una scienza che unisce la Matematica all’Arte e la Logica alla Bellezza e per abbracciarlo in toto affronteremo gli aspetti tecnici ed esoterici di questo fantastico mondo.

Per iniziare cos’è?

La Legge della corrispondenza di Ermete Trismegisto che recitava: “Come sopra – così sotto, come sotto – così sopra. Come dentro – così fuori, come fuori – così dentro. Come nel grande – così nel piccolo.”; ci fa entrare nella visione di cosa sia un Frattale, ovvero il microcosmo paragonato al macrocosmo, la natura che ripropone le proprie forme con piccole variazioni mantenendo armonia e vibrazione, il piccolo dentro il grande che, una volta ingrandito, è tale e quale al grande… tutta la realtà è frattale!

Le recenti scoperte nel campo della matematica ci hanno permesso di stabilire che, sebbene con una propria unicità, ogni forma armoniosa rispetta determinati Canoni e Leggi che si Ripetono all’Infinito nel Mare della Molteplicità Universale.

Dove è possibile vedere i Frattali in natura?

I cristalli di neve

Prendiamo ad esempio i cristalli di neve, seguendo ogni “braccio” del cristallo, ingrandendolo, vediamo riproporsi sempre lo stesso rapporto angolare e proporzione dimensionale delle forme.

La Felce

Prendendo invece un ramo di felce è immediatamente visibile la ripetizione dello schema geometrico, infatti ogni singolo ramo e foglia ripete in miniatura la forma del ramo a cui appartiene

Il cavolfiore

Un esempio molto più evidente è il cavolfiore, ogni singola “cimetta” si ripete nel grande come nel piccolo

Una volta visti questi esempi e li possiamo vedere in tanti altri casi nella natura, perché veramente siamo circondati da una “Realtà Frattale”, entriamo più nello specifico, etimologico, della parola “Frattale”…

Cosa vuol dire Frattale?

Il termine “Frattale” venne coniato dal matematico Benoît Mandelbrot, il cui significato corrisponde a “rotto” o “spezzato”, intendendo che nel rompere una parte dell’insieme originale si ottengono dei sottoinsiemi che ripropongono la stessa figura originale. Mandelbrot dedicò gran parte della sua vita alla dimostrazione degli studi iniziati dal matematico Gaston Julia, da cui i nomi dei due principali frattali: l’insieme di Mandelbrot e l’insieme Julia.

Favorito dal progressivo sviluppo dei calcolatori, Mandelbrot, all’epoca impiegato all’IBM, ha condotto questi studi riuscendo a riprodurre un insieme frattale semplice, ma allo stesso tempo molto bello, che comprendeva anche la geometria proposta dal matematico Julia dimostrandone la sua validità.

I calcolatori hanno infatti permesso di riprodurre, con una potenza di calcolo molto più veloce di quella umana, tra le immagini più belle che i vari matematici fino ad oggi hanno realizzato.

Mandelbrot ha dimostrato che i frattali possono essere la chiave di lettura matematica delle forme della natura dando il via ad una particolare branca che studia la teoria del caos.

Partiamo da frattali vettoriali molto semplici:

I Sistemi di Funzioni Iterate

Dall’acronimo IFS – Iterated Function System, i sistemi di funzioni iterate propongono iterazioni della medesima funzione sulle rette che costituiscono il frattale. Ad ogni ciclo di iterazione il grande viene riproposto nel piccolo del quale ne diventa “genitore”, ovvero lo genera. Tra i più noti possiamo trovare:

La curva di Koch

La famosa curva di Koch costruita sui lati dell’omonimo triangolo è il classico esempio di ripetizione meccanica di un algoritmo matematico che ad ogni ciclo di iterazione diventa sempre più dettagliato arricchendo la definizione e la bellezza dell’immagine. Si parte da un triangolo equilatero. Nello stesso si suddivide ogni lato in 3 parti, sul segmento centrale si costruisce un triangolo equilatero e si rimuove il segmento originale lasciando solo gli altri 2 lati.

Il triangolo di Sierpinski

Nel triangolo di Sierpinski si procede ad ogni iterazione suddividendo la figura originale in 4 triangoli in scala all’originale.

La felce di Barnsley

Realizzata dal matematico britannico Michael Barnsley pubblicata nel suo libro “Fractals Everywhere” (Frattali ovunque), anche lui sottolineando questo senso, nella quale ogni ramo di felce produce una felce nella sua interezza in miniatura, al punto che ogni punto che descrive le foglie della felce ha una microscopica felce al suo interno.

Diciamo che questi sono i principali frattali IFS, ma poi ce ne sono tanti altri…

I Frattali Bitmap

Passiamo ora a frattali più complessi generati in modalità bitmap

Bitmap, ovvero costituiti da una griglia di punti o quadratini in definizioni grafiche più basse, che coprono una mappa, quindi tanti punti in orizzontale ed in verticale creano un disegno. Questa è la definizione di Bitmap. Quindi avremo in base alla propria coordinata cartesiana, un campo entro il quale il frattale si sviluppa. Questi frattali saranno definiti da variazioni cromatiche quindi, non essendo vettoriali.

Zoomando nei singoli punti vedremo la stessa figura originale riproposta con delle piccole variazioni date da perturbazioni e divergenze/convergenze numeriche. Il macrocosmo appunto nel microcosmo….

I numeri complessi

Per realizzare frattali di tipo bitmap è necessario introdurre il concetto di numeri complessi.

I numeri complessi sono numeri costituiti di 2 parti: parte reale e parte immaginaria.

La parte reale è quella maggiormente a noi familiare, infatti avremo numeri positivi o negativi, interi o frazionali, razionali o irrazionali ma pur sempre “reali”, “tangibili” e perlopiù “misurabili”

La parte immaginaria è quella più difficilmente accessibile, è costituita da un coefficiente reale moltiplicato per “i” ovvero la radice quadrata di -1. Il risultato prodotto dalla radice quadrata di -1 è un numero appunto “immaginario”. Ma cosa succede quando nei calcoli andiamo a moltiplicare tra di loro numeri immaginari?

Solo alcuni esempi:

3i * 4i = -12 (numero reale)

-2i * 3i = 6 (numero reale)

Come si può notare il prodotto di 2 numeri immaginari è un numero reale, ma quando si relazionano numeri complessi tra di loro il gioco diventa appunto più complesso. Il numero complesso è un insieme di parte reale e parte immaginaria e non sempre il risultato porta ad una possibile semplificazione, quindi ottenendo un numero reale o immaginario e rimanere invece complesso:

(2+3i) * (5+4i) = 10 + 15i + 8i – 12 = -2 + 23i

La matematica anche in questo caso ci insegna molto: “La Complessità della Manifestazione è l’unione di una parte Reale ed una parte Immaginaria”, qualcosa di pratico e tangibile ed allo stesso tempo ideale ed impalpabile…

La relazione di 2 o più numeri complessi produce un risultato non sempre prevedibile ma che rispetta certe leggi: “un caos perfettamente organizzato”.

In una griglia bitmap (immagine bitmap) si produrranno quindi colori costituiti dal numero di iterazioni, ripetizioni, compiute nel superamento di un limite prefissato da una formula via via ripetuta.

Ad esempio nel caso del frattale Mandel la formula sarà:

Z=Z^2+C

Sia Z che C sono numeri complessi, infatti:

Z=X+iY

C=A+iB

Convenzionalmente viene associato ad un asse (Y o B) la parte immaginaria ed all’altro (X o A) la parte reale (sprovvista appunto della suddetta ‘i’)

Ponendo A e B come assi di un piano cartesiano dove A è la posizione orizzontale e B la posizione verticale noi avremo una “mappa” entro la quale l’immagine si svilupperà.

I limiti entro i quali l’immagine verrà prodotta generano un campo denominato “Campo di esistenza” ovvero il “luogo” dove la “natura” produce questa “magia”…

Scegliendo convenzionalmente 4 come limite assoluto per fermare le iterazioni su ogni punto cartesiano della mappa il campo di esistenza sarà entro i limiti -2,-2i  a 2,2i

Limite di iterazione: Assoluto di Z < 4

Ma fermiamoci con la matematica e gustiamo un po’ di queste meraviglie matematico-artistiche!

Tra i più famosi possiamo vedere:

Mandel (o insieme Mandelbrot)

Julia (o insieme Julia)

E tanti altri ancora… internet oggi offre la possibilità di ricercare tantissime realizzazioni artistiche e matematiche!

Frattali non solo in natura…

Nei prossimi articoli in cui parlerò ancora di frattali, che si potranno chiaramente anche interlacciare con altri argomenti, sarà bello vedere come la matematica frattale, in realtà, riguarda non solo la natura manifesta, ma anche la relazione in alcuni casi delle orbite planetarie, parlando di Astrologia e Astronomia, oppure anche di relazioni di lunghezze temporali particolari, quindi paragoni o confronti su periodi, fasce di periodo, più o meno lunghe che però ripropongono sempre una forma di ripetizione, quindi “Il piccolo nel grande” e così via…

Ad esempio i 7 Pianeti associati ai 7 giorni della settimana, ma anche l’orbita di Giove di 12 anni che è in rapporto con l’orbita Solare (Terrestre) di 1 anno, quindi moltiplicata per 12, ma anche l’orbita Lunare che è di 29 giorni che si può rapportare all’orbita di Saturno che è di 29 anni…

Ci sono dei numeri che si ripetono in natura, e si ripetono con dei rapporti particolari… anche questo è frattale!

Tutta la Realtà è frattale…

A presto!

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Written by Alessandro Gatti

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